例谈“什么是数学思维？”
姜彩清
我发在公众号里的《数学学习：要让孩子能学、会学与乐学》这篇文章，截止今天晚上10点，阅读量已达7597次了，我内心觉得挺有成就感的。不过，老婆却告诉我，她办公室的几个同事观点是，这篇文章的前半部分很精彩，通过“高水平”的一番闲扯，把育人的道理说得非常清楚明白，而后半部分涉及数学知识的教学，显得晦涩难懂——所以办公室里的这几个老师关注我的公众号，他们每次只读我文章的前半部分。
当然，老婆办公室的同事都是语文老师，她们对数学题不感兴趣也是可以理解的。不过，她们的说法还是给了我两点启发：一是要继续言简意赅的“扯”好修心养性或教书育人的真心感悟；二是如果无法避免数学方面的例子，就举一些简单的数学题目，方便家长朋友们，以及关注我公众号的一些语文老师，都能看懂，这样的文章才算完美一些（今天数学题例不多，且都是中低年级的内容）。
第一部分，简述两点感悟
感悟1：怎样才能拥有好心情？
人生在世，一是要知足常乐，二是不争强好胜——如此便会有好心情。
前者“知足常乐”就不赘述了，大家都懂的。针对后者“不争强好胜”想来多说几句。我们凡事都要懂得——不与人争，这是一种豁达自信的表现。
正如一位学者所言：“你若为大树，就不必跟小草争；你若为雄鹰，就不必跟小鸟争。”——的确，若我们真为强者，就应该与世人无争，无论对方是人是鬼，是“真善美”还是“假恶丑”。当你懂得不争的时候，其实你就处于人生的顶峰了。这时，静下心来，冷眼看世界，你就会有许多发现与收获。当我们什么都想明白了，也就没有什么放不下了。
经历过人生风雨，进入中老年后，我们就会明白，我们舍不得且心心念念的朋友，其实常常并没有舍不得我们，所以别高估自己在他人心目中的分量。换言之，我们与他人相处时，别期望什么，别希望什么，别盼望什么，更别指望得到什么，那么，我们就永远不会有失望、失落、懊恼与痛苦……
一言以蔽之，好心情真的是太重要了——每个人值得拥有，永远，永远！
感悟2：怎样更好地自我成长？
有人说，人的一生中有三次改变命运的机会，分别是学历，婚姻，自我觉醒。——我个人也是非常赞同这个观点的。
小时候家里穷，每到春种、秋收的时节，放学回家第一件事不是写作业，而是要去田地里帮着父母做农活。不得不说，农民真辛苦，风吹日晒，一年到头也挣不到几个钱。那时，我虽然年龄很小，但满脑子就是想“鲤鱼跳龙门”。于是乎，我便拼命地读书学习。初三毕业那一年，我顺利地考上了江苏省海州师范学校，成为我们村里当时第一个“中举”之人，从而摆脱了黑土地的束缚，走上了更广大的人生舞台。可以说，这辈子第一次改变自己命运的机会，被我紧紧地抓住了……
——因此，读书真的能改变自己的命运。
关于婚姻，有人这样说过——“真正的爱情，一定是双向奔赴的，它一定是一个人想垫脚，一个人想弯腰。”也就是双方同频共振，步调一致，琴瑟和鸣，恩爱有加。需要说明的是，白富美嫁给了穷小子，不一定就是一地鸡毛；而穷家女嫁给了高富帅，也不一定就是锦衣玉食。
我个人观点，最好还是讲究“门当户对”（即经济，学识，特别是人品，都要“门当户对”）。这样，双方生活在同一阶层，思想属于同一水平，往往更容易平等地沟通与交流，生活也更舒心与幸福。
但如果说，我们没有遇到对的人（能让我们越来越好的人），从而让我们的生活过得越来越差，那么，我们就要重新评估这份感情，是否还有存在的价值，必要时要学会及时止损，给自己松绑，绝不与烂人烂事纠缠一辈子。
——可见，步入婚姻是人性的第二次重生，真的非常重要。这是人改变命运的第二次机会。
人的一生，什么事都有可能发生，什么人都有可能遇到。当你发现生活中的不如意，并能想办法去克服或改变目前的窘境，那么恭喜你——你已经“自我觉醒”或是已经走在“自我觉醒”的路上了。“自我觉醒”的最直接表现是，不向多舛的命运低头，尝试用自己的智慧去应对，力求实现良好的改变。
韩愈说：“业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。”努力工作而得到酬劳是最现实的生活资本，勤奋拼搏而获得财富也是我们最现实的幸福源泉。这里，我们要强调，自我觉醒的意识出现，什么时候都不晚。种植一棵树的最好时间是十年前，其次就是现在（立即行动起来），不可拖延。
——不容质疑，自我觉醒与不断努力，是改变命运的最坚实的一张王牌。
第二部分，什么是数学思维
数学思维，顾名思义，就是运用数学的知识和方法来分析和解决问题的思维方式。它不仅仅是数学学科本身的核心素养，也是跨学科能力的重要体现。
它主要包括这样几个方面：一是逻辑推理能力（包括演绎推理和归纳推理。演绎推理是从普遍的原理出发，推导出特定的结论，而归纳推理则是从特定的观察和事实出发，归纳出普遍的规律）；二是抽象思维能力（能够从具体的事物中抽象出数学概念和规律）；三是空间想象能力（能够在大脑中形成空间物体的形象，进行空间位置的判断和操作）；四是运算能力（包括基本的算术运算、代数运算等，良好的运算能力有助于数学思维的敏捷性和准确性）；五是问题解决能力（能够面对问题，通过分析、假设、推理等方法，找到解决问题的策略和途径）；六是数学建模能力（能够帮助我们把实际问题转化为数学问题，通过对数学模型来的分析，从而快速地解决一些复杂的问题）；七是批判性思维能力（学会质疑和验证，批判性地思考问题）。
这样语言描述，可能大家不一定明白。下面，我来举例说明一下。
例1：从3、5、8这三张数字卡片中，每次选两张组成一个两位数，一共可以组成多少个不同的两位数？
这个简单吧，但要有序思维与有条理地表达，比如，按从小到大的顺序，依次为35，38，53，58，83，85，一共6个不同的两位数。
如果我把上面的题目修改一下，变成：“从3、5、6这三张数字卡片中，每次选两张组成一个两位数，一共可以组成多少个不同的两位数？”
此时，如果你认为与上面的题目毫无差别，还是组成6个不同的两位数，那么就错了——数学思维的缜密性告诉我们，这里是数字卡片，所以要考虑卡片上的数字6旋转180度后是9，所以后一题的答案是35，36，39，53，56，59，63，65，93，95，一共组成10个不同的两位数。
现在，大家对数学思维是不是有一点不同的认识了？
例2：甲、乙、丙三人各有连环画若干本，如果甲给乙5本，乙给丙10本，丙再给甲15本，那么三个人连环画都是35本。求甲、乙、丙三人原来各有多少本？
这道题的数量关系有点“绕人”，许多同学一筹莫展，无法下手解答。其实，我们只需要将题目中数量的变化过程，采用符号化的方法，把甲、乙、丙三人的变化情况理一理，转化成“填空题”的形式，就非常简单了（如下左图所示）。这样再倒推回去，就非常方便列出算式了（如下右图）。
例3：一个正方形（如下图）去掉一个小长方形，这时剩下的面积是70平方厘米。求原来正方形的面积是多少？
语文老师会说：“这是什么鬼东西？不好搞，我不搞了。”
初中数学老师会这样想：设个两个未知数X与Y，列出方程组，可以求解得出答案。
但小学生并不会这样思考，这种“复杂”的方程组，也超出了小学生的认知接受范围。那么，小学生又该怎么思考呢？
那就是数形结合地进行分析，再等积变形，重新构造新的图形，于是算法算理就一目了然了（如下图）。
由图上的数据可知，蓝色长方形与红色长方形的重叠部分为4×5=20平方厘米，所以将这这两个长方形拿开，重新拼成图3那样，则新的长方形面积为70+20=90平方厘米，它的一条边为4+5=9厘米，所以原来正方形的边长为90÷9=10厘米，因此原来正方形的面积为10×10=100平方厘米。
综上所述，数学思维不同于一般性思维，它最大的“魅力”在于它具有严密性与精准性，以及妙用符号化的简化表达方式，更让人沉醉其中的是，我们在数学分析与推理的基础上，创造性进行数量关系再“构造”，从而转化出“新的图形”或“新的情境”，让数量关系明朗起来，因而难题也就不难了。
时间不早了，今天就说这么多了。下次有时间，我再举一些例子，让大家更好地了解数学思维的特点，从而更好地学好数学这门学科！